Cluster algebras of unpunctured surfaces and snake graphs

We study cluster algebras with principal coefficient systems that are associated to unpunctured surfaces. We give a direct formula for the Laurent polynomial expansion of cluster variables in these cluster algebras in terms of perfect matchings of a certain graph GT,γ that is constructed from the surface by recursive glueing of elementary pieces that we call tiles. We also give a second formula for these Laurent polynomial expansions in terms of subgraphs of the graph GT,γ . Résumé. Nous etudions des algebres amassees avec coefficients principaux associees aux surfaces. Nous presentons une formule directe pour les developpements de Laurent des variables amassees dans ces algebres en terme de couplages parfaits d’un certain graphe GT,γ que l’on construit a partir de la surface en recollant des pieces elementaires que l’on appelle carreaux. Nous donnons aussi une seconde formule pour ces developpements en termes de sous-graphes de GT,γ .